Question

如图，ABCD是边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点开口向上的一段抛物线弧，其中E为BC的中点．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PMDN，问如何修建才能使得游乐园的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：首先建立坐标系，表示出抛物线AE的方程，并设P的坐标，用其坐标表示出游乐园的面积S的函数，通过求导法找到最大值．

解答：解：以A为原点，

AB

为x轴的正向建立平面直角坐标系．设抛物线弧AE
的方程为y=ax²（0≤x≤4）
∵E（4，2），2=16a?a=

1

8

，故y=

1

8

x2．
设P(x，

1

8

x2)(0＜x≤4)，矩形PMDN的面积为S，
则S=x(4-

1

8

x2)=-

1

8

x3+4x(0＜x≤4)．
∴S′=-

3

8

x2+4．
令S'=0，得x=

4 6

3

或x=-

4 6

3

（舍）．
∵当x∈(0，

4 6

3

)
时，S'＞0；当x∈(

4 6

3

，4)
时，S'＜0，
∴x=

4 6

3

为S的极大值点，也是最大值点．
故当x=

4 6

3

时，S有最大值且最大值为S(

4 6

3

)=

32 6

9

．
答：当游乐园PMDN的两邻边MD=

8

3

km，DN=

4 6

3

km时，游乐园PMDN的面积最大，且最大面积等于

32 6

9

km2．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通过求导计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．