题目内容
【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线
与椭圆
在第一象限内的交点是
,点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,椭圆
另一个焦点是
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点
,且与椭圆
交于
两点,求
的内切圆面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用将点的横坐标
代入直线
,求得
点的坐标,代入
的坐标运算,求得
的值,也即求得
点的坐标,将
的坐标代入椭圆,结合
,解方程组求得
的值,进而求得椭圆方程.(2)设出直线
的方程,联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系,由此求得
的面积,利用导数求得面积的最大值,并由三角形与内切圆有关的面积公式,求得内切圆的半径的最大值.
(1)设椭圆方程为,点
在直线
上,且点
在
轴上的射影恰好是椭圆
的右焦点
,则点
.
∵
∴
又
解得
∴椭圆方程为
(2)由(1)知,,过点
的直线与椭圆
交于
两点,
则的周长为
,又
(
为三角形内切圆半径),
∴当的面积最大时,其内切圆面积最大.
设直线的方程为:
,
,则
消去得
,
∴
∴
令,则
,∴
令,
当时,
,
在
上单调递增,
∴,当
时取等号,
即当时,
的面积最大值为3,
结合,得
的最大值为
,
∴内切圆面积的最大值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在,
实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)用样本估计总体,以频率作为概率,若在,
两块试验地随机抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望;
(Ⅲ)填写下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
优质花苗 | 非优质花苗 | 合计 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合计 |
附:下面的临界值表仅供参考.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
.)