题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,已知
平面
,且四边形
为直角梯形,
,
,
.
(Ⅰ)求平面与平面
所成二面角(锐角)的余弦值;
(Ⅱ)点是线段
上的动点,当直线
与
所成角最小时,求线段
的长度.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)分别以,
,
为
,
,
轴,建立空间直角坐标系.利用平面
和平面
的法向量,计算出平面
与平面
所成二面角(锐角)的余弦值.
(Ⅱ)利用向量共线得到的坐标.利用向量法求得直线
与
所成角为
的余弦值
的平方
的表达式,还原后利用配方法求得
的最大值,即求得
的最大值,根据余弦函数的单调性可知,此时直线
与
所成角最小.根据最值成立的条件,求得线段
的长度.
(Ⅰ)分别以,
,
为
,
,
轴,建立空间直角坐标系.
,
,
,
,
,
则,
,
取平面的法向量
,设平面
的法向量为
,
则,
,即
,解得
,取
,则
.
设平面与平面
所成二面角(锐角)为
,
则.
(Ⅱ)设(其中
),
,设当直线
与
所成角为
,则
,
,
令,
,则
,
则,
当,即
,
时,
取得最大值,最大值为
,此时
取得最大值.
由余弦函数单调性可知,此时锐角取得最小值,且
.

【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过
和不超过
的工人数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
第一种生产方式 | ||
第二种生产方式 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:,
【题目】已知某产品的销售额与广告费用
之间的关系如下表:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 15 | 30 | 35 |
若根据表中的数据用最小二乘法求得对
的回归直线方程为
,则下列说法中错误的是( )
A.产品的销售额与广告费用成正相关
B.该回归直线过点
C.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元
D.的值是20