Question

17．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{5}sinθ$．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到圆的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t的几何意义，即可求得|PA|+|PB|．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{5}sinθ$，即为
x²+y²=2$\sqrt{5}$y，即为x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5；
（2）将l的参数方程代入圆的方程可得，
（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²=5，
即有t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
判别式为18-16=2＞0，设t₁，t₂为方程的两实根，
即有t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4，
则t₁，t₂均为正数，
又直线l经过点（3，$\sqrt{5}$），
由t的几何意义可得，
|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，属于基础题．