Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=-$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{-2{a}_{n}-3}{3{a}_{n}+4}$（n∈N⁺）
（1）证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差数列并求{a_n}的通项公式．
（2）数列{b_n}满足b_n=$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N⁺）．求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{-2{a}_{n}-3}{3{a}_{n}+4}$化简可得$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{1}{\frac{-2{a}_{n}-3}{2{a}_{n}+4}+1}$=$\frac{3{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$；从而判断等差数列与通项公式；
（2）化简b_n=$\frac{3n}{{a}_{n}+1}$=n•3ⁿ⁺¹，从而利用错位相减法求前n项和．

解答 解：（1）证明：∵a_n+1=$\frac{-2{a}_{n}-3}{3{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{1}{\frac{-2{a}_{n}-3}{2{a}_{n}+4}+1}$=$\frac{3{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$；
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=3，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以3为首项，公差为3的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=3n；
∴a_n=$\frac{1}{3n}$-1；
（2）b_n=$\frac{3n}{{a}_{n}+1}$=n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=3²×1+3³×2+…+n•3ⁿ⁺¹，
3S_n=3³×1+3⁴×2+…+n•3ⁿ⁺²，
∴-2S_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²=$\frac{{3}^{2}（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺²，
∴S_n=$\frac{（2n-1）}{4}{3}^{n+2}$+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了数列的化简与应用，同时考查了错位相减法的应用，属于中档题．