[题目]已知a.b为正数.直线y=x﹣2a+1与曲线y=ex+b﹣1相切.则的最小值为( )A. 9 B. 7 C. D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知a，b为正数，直线y=x﹣2a+1与曲线y=ex+b﹣1相切，则的最小值为（　　）

A. 9 B. 7 C. D.

【答案】D

【解析】

设切点为（m，n），由y=ex+b﹣1的导数y′=ex+b，可得切线的斜率为em+b=1，n=m﹣2a+1=em+b﹣1，化为2a+b=1，根据均值不等式可得到最值.

a，b为正数，直线y=x﹣2a+1与曲线y=ex+b﹣1相切，

设切点为（m，n），由y=ex+b﹣1的导数y′=ex+b，

可得切线的斜率为em+b=1，n=m﹣2a+1=em+b﹣1，

化为2a+b=1，

则=（2a+b）（）=3++≥3+2=3+2，

当且仅当b=a时，上式取得等号，

可得的最小值为3+2．

故选：D．

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（1）求，；

（2）若，证明： .

【答案】（1），；（2）见解析

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（2）由（1）可知，，

由，可得，令，利用导数研究其单调性可得

，

从而证明.

试题解析：（（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（1）可知，，

由，可得，

令，

，

令

当时，，单调递减，且；

当时，，单调递增；且，

所以在上当单调递减，在上单调递增，且，

故，

故.

【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.

【题型】解答题
【结束】
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年龄
频数	5	5	10	15	5	10
了解《民法总则》	1	2	8	12	4	5

（1）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；

	年龄低于45岁的人数	年龄不低于45岁的人数	合计
了解
不了解
合计

（2）若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

参考公式和数据：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

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