题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右焦点分别为、,定点A(-2,0),B(2,0).
(1) 若椭圆C上存在点T,使得,求椭圆C的离心率的取值范围;
(2) 已知点在椭圆C上.
①求椭圆C的方程;
②记M为椭圆C上的动点,直线AM,BM分别与椭圆C交于另一点P,Q,若, .求λ+μ的值.
【答案】(1);(2)①;②6
【解析】试题分析:(1)先求出动点的轨迹方程,设出椭圆方程,与的轨迹方程联立求出 ,根据椭圆横坐标的有界性求出 的范围,离心率表示为 的函数,求出函数的值域即可得结果;(2)①根据点在椭圆C上,结合(1)的结论可得椭圆方程,②设出点 ,根据, 分别求出 用表示, 列方程化简即可得结果.
试题解析:(1)设点T(x,y),由=,得(x+2)2+y2=2[(x+1)2+y2],即x2+y2=2.
由得y2=m2-m,(其中:m=)
因此0≤m2-m≤m,解得1≤m≤2,所以椭圆的离心率e=∈.
(2) ①椭圆C的方程为.
②设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
得从而
因为+y=1,所以+(λy1)2=1,
即λ2+2λ(λ-1)x1+2(λ-1)2-1=0.
因为+y=1,代入得2λ(λ-1)x1+3λ2-4λ+1=0.
由题意知,λ≠1,故x1=-,所以x0=,同理可得x0=.
因此=,所以λ+μ=6为定值.
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