题目内容

（2012•福建模拟）阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．
（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
分析：（Ⅰ）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
，即可证明结果．
（Ⅱ）解法一：利用二倍角公式以及正弦定理，即可判断三角形的形状．
解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C，以及A+B+C=π，
推出2sinAcosB=0.∠B=
π
2
．得到△ABC为直角三角形
解答：满分（12分）．
解法一：（Ⅰ）因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②…（2分）
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．③…（3分）
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
，
代入③得cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
．…（6分）
（Ⅱ）由二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C可化为1-2sin2A-1+2sin2B=2sin2C，…（8分）
即sin2A+sin2C=sin2B．…（9分）
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理可得a2+c2=b2．…（11分）
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C可化为-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin2C，…（8分）
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin2（A+B）．
又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
从而2sinAcosB=0．…（10分）
又因为sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=
π
2
．
所以△ABC为直角三角形．…（12分）
点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．
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1
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