题目内容

已知数列{a_n}满足 $数学公式$ ，且当n＞1，n∈N时，有 $数学公式$ ，
（1）求证：数列 $数学公式$ 为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中的任意两项a_m、a_k（m，k∈N）的积a_m•a_k是否仍是数列{a_n}中的项？
如果是，是第几项（用m，k表示）；如果不是，请说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得，a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，则 $\text{[math]}$
所以，数列 $\text{[math]}$ 为等差数列（6分）
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ．（8分）
所以 $\text{[math]}$ ，
所以a_m•a_k是数列{a_n}中的第（4mk+m+k）项．（14分）
分析：（1）把原递推关系式整理可得a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，进而得到 $\text{[math]}$ ，可证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列；
（2）先利用（1）求的通项代入a_m•a_k整理即可判断a_m•a_k是否仍是数列{a_n}中的项．
点评：本题是对数列递推关系式的应用．其中涉及到了判断某一项是否为数列中的项的问题，在判断某一项是否为数列中的项时，我们只要看其是否符合通项公式即可得出结论..