题目内容
(2012•福建模拟)设函数f(x)的图象是由函数
g(x)=cos2x+sinxcosx-的图象经下列两个步骤变换得到:
(1)将函数g(x)的图象向右平移
个单位,并将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数h(x)的图象;
(2)将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的
m(0<m<)倍(横坐标不变),并将图象向上平移1个单位,得到函数f(x)的图象.
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)判断方程f(x)=x的实根的个数,证明你的结论;
(Ⅲ)设数列{a
n}满足a
1=0,a
n+1=f(a
n),试探究数列{a
n}的单调性,并加以证明.
分析:(Ⅰ)利用二倍角三角函数公式,将g(x)化简整理得g(x)=
sin(2x+),再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的规律,结合题意可得变换后的f(x)的表达式;
(II)令F(x)=f(x)-x=msinx-x+1,通过计算F(0)和F(
),结合零点存在性定理,得F(x)=0在
(0,)至少有一个根,再根据导数讨论F(x)的单调性,得F(x)在R上单调递减,即可得到方程f(x)=x有且只有一个实根.
(III)根据f(x)表达式,计算a
1=0,a
2=1>a
1,a
3=msin1+1>a
2.由此猜测a
n>a
n-1(n≥2),即数列{a
n}是单调递增数列.再用数学归纳法进行证明,可得猜想的结论成立,即数列{a
n}是单调递增函数.
解答:解:(Ⅰ)
g(x)=cos2x+sinxcosx-=+sin2x-…(2分)
=
cos2x+sin2x=sin(2x+)…(3分)
∴函数g(x)的图象向右平移
个单位,得g(x+
)=sin2x,
再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得h(x)=sinx,…(4分)
再将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的
m(0<m<)倍(横坐标不变),
并将图象向上平移1个单位,得f(x)=msinx+1.…(5分)
(Ⅱ)方程f(x)=x有且只有一个实根.…(6分)
理由如下:
由(Ⅰ)知f(x)=msinx+1,令F(x)=f(x)-x=msinx-x+1,
因为F(0)=1>0,结合
0<m<,得
F()=m-+1<-<0.
所以F(x)=0在
(0,)至少有一个根.…(7分)
又因为
F′(x)=mcosx-1<m-1<-<0,
所以函数F(x)在R上单调递减,
因此函数F(x)在R上有且只有一个零点,即方程f(x)=x有且只有一个实根.…(9分)
(Ⅲ)因为a
1=0,a
n+1=f(a
n)=msina
n+1,所以a
2=1>a
1,
又a
3=msin1+1,因为
0<1<,所以0<sin1<1,所以a
3>1=a
2.
由此猜测a
n>a
n-1(n≥2),即数列{a
n}是单调递增数列.…(11分)
以下用数学归纳法证明:n∈N,且n≥2时,a
n>a
n-1≥0成立.
(1)当n=2时,a
2=1,a
1=0,显然有a
2>a
1≥0成立.
(2)假设n=k(k≥2)时,命题成立,即a
k>a
k-1≥0(k≥2).…(12分)
则n=k+1时,a
k+1=f(a
k)=msina
k+1,
因为
0<m<,所以
ak=f(ak-1)=msinak-1+1<m+1<+1<.
又sinx在
(0,)上单调递增,
0≤ak-1<ak<,
所以sina
k>sina
k-1≥0,所以msina
k+1>msina
k-1+1,
即sina
k+1>msina
k-1+1=f(a
k-1)=a
k≥0,
即n=k+1时,命题成立.…(13分)
综合(1),(2),n∈N,且n≥2时,a
n>a
n-1成立.
故数列{a
n}为单调递增数列.…(14分)
点评:本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般等思想方法.
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