Question

13．已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，G、E、F分别为AB、BC、PD的中点
（Ⅰ）求证：AF∥平面PGC；
（Ⅱ）若过点A作AM⊥PE，M为垂足，求证：AM⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中点H，证明四边形AGHF是四边形即可证明AF∥平面PGC；
（Ⅱ）先证明BC⊥平面PAE，然后证明AM⊥面PBC即可．

解答 证明：（Ⅰ）取PC的中点H，
则HF是△PCD的中位线，
则HF∥CD，且HF=$\frac{1}{2}$CD，
∵G是AB的中点，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=HF，AG∥CD∥FH，
则四边形AGHF是四边形，
∴AF∥GH，
∵AF?平面PGC；
GH?平面PGC；
∴AF∥平面PGC；
（Ⅱ）∵E为BC的中点，底面ABCD为菱形，
∴BC⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∵AM?平面PAE
∴BC⊥AM，
∵AM⊥PE，
∴AM⊥面PBC，
∴AM⊥PC．

点评 本题主要考查线面平行和线面垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．