Question

【题目】已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:

①f(0)f(1)<0; ②f(0)f(1)>0;

③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0;

⑤f(1)f(3)>0; ⑥f(1)f(3)<0.

其中正确的结论是_____.(填序号)

Answer 1

【答案】①③⑥

【解析】∵f(x)=x3-6x2+9x-abc,

∴f'(x)=3x2-12x+9

=3(x-1)(x-3).

∴当1<x<3时,f'(x)<0;当x<1或x>3时,f'(x)>0.

∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞),单调递减区间为(1,3).

∴f(x)极大值=f(1)=1-6+9-abc=4-abc,

f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc.

∵f(x)=0有三个解a,b,c,

∴a<1<b<3<c,

∴f(1)=4-abc>0,且f(3)=-abc<0.

∴0<abc<4.

∵f(0)=-abc,

∴f(0)<0,

∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,f(1)·f(3)<0. 正确的结论是①③⑥