Question

【题目】已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值;

(2)证明:当x>0时,x2<ex.

Answer 1

【答案】（1）a=2，极小值为f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得f'(0)=-1，解得a，再根据导函数零点列表分段讨论导函数符号，根据符号变化规律确定极值，（2）作差函数，利用二次求导，确定函数单调性，根据单调性证明不等式.

试题解析：(1)解 由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.

因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2.

所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.

令f'(x)=0,得x=ln 2.

当x<ln 2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln 2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.

(2)证明 令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,

故g(x)在R上单调递增.

因为g(0)=1>0,所以当x>0,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.