题目内容
【题目】已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．(2)见解析
【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究导函数的正负，根据到函数的正负得到原函数的单调性；（2）将函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数问题转化为该函数和x轴的交点个数问题，研究这个函数的单调性和图像，找到它和轴的交点个数。
解析：
(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－a－1.
当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：
x | (－∞，－a－1) | －a－1 | (－a－1，＋∞) |
f′(x) | － | 0 | ＋ |
f(x) | ? | 极小值 | ? |
故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．
(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．
理由如下：
由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，
显然x＝0为此方程的一个实数解，
所以x＝0是函数g(x)的一个零点．
当x≠0时，方程可化简为ex－a＝x.
设函数F(x)＝ex－a－x，则F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.
当x变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：
x | (－∞，a) | a | (a，＋∞) |
F′(x) | － | 0 | ＋ |
F(x) | ? | 极小值 | ? |
即F(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，a)．
所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因为a<1，
所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0，
所以对于任意x∈R，F(x)>0，
因此方程ex－a＝x无实数解．
所以当x≠0时，函数g(x)不存在零点．
综上，函数g(x)有且仅有一个零点．
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案【题目】已知f是有序数对集合M＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的像为实数z，记作f(x，y)＝z.对于任意的正整数m，n(m>n)，映射f由下表给出：
(x，y) | (n，n) | (m，n) | (n，m) |
f(x，y) | n | m－n | m＋n |
则f(3,5)＝________，使不等式f(2x，x)≤4成立的x的集合是__________．