Question

【题目】已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．(2)见解析

【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究导函数的正负，根据到函数的正负得到原函数的单调性；（2）将函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数问题转化为该函数和x轴的交点个数问题，研究这个函数的单调性和图像，找到它和轴的交点个数。

解析：

(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝－a－1.

当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：

x	(－∞，－a－1)	－a－1	(－a－1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	极小值	?

故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．

(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．

理由如下：

由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，

显然x＝0为此方程的一个实数解，

所以x＝0是函数g(x)的一个零点．

当x≠0时，方程可化简为ex－a＝x.

设函数F(x)＝ex－a－x，则F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.

当x变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：

x	(－∞，a)	a	(a，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	?	极小值	?

即F(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，a)．

所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因为a<1，

所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0，

所以对于任意x∈R，F(x)>0，

因此方程ex－a＝x无实数解．

所以当x≠0时，函数g(x)不存在零点．

综上，函数g(x)有且仅有一个零点．