题目内容
（2013•顺义区二模）已知函数f(x)=
，其中a为正实数，e=2.718…．
（I）若x=
是y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）求f（x）的单调区间．
| ex |
| 1+ax2 |
（I）若x=
| 1 |
| 2 |
（II）求f（x）的单调区间．
分析：（I）依题意，由f′（
）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=
，令f′（x）=0可求得方程ax2-2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．
| 1 |
| 2 |
（II）求f′（x）=
| (ax2-2ax+1)ex |
| (1+ax2)2 |
解答：解：f′（x）=
．
（I）因为x=
是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（
）=0，
因此
a-a+1=0，
解得a=
．
经检验，当a=
时，x=
是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为
．…（4分）
（II）f′（x）=
（a＞0），
令f′（x）=0得ax2-2ax+1=0…①
（i）当△=（-2a）2-4a＞0，即a＞1时，方程①两根为
x1=
=
，x2=
．
此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，
），（
，+∞）； f（x）的单调递减区间为（
，
）．
（ii）当△=4a2-4a≤0时，即0＜a≤1时，ax2-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此时f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．…（13分）
| (ax2-2ax+1)ex |
| (1+ax2)2 |
（I）因为x=
| 1 |
| 2 |
所以f′（
| 1 |
| 2 |
因此
| 1 |
| 4 |
解得a=
| 4 |
| 3 |
经检验，当a=
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
（II）f′（x）=
| (ax2-2ax+1)ex |
| (1+ax2)2 |
令f′（x）=0得ax2-2ax+1=0…①
（i）当△=（-2a）2-4a＞0，即a＞1时，方程①两根为
x1=
2a-
| ||
| 2a |
a-
| ||
| a |
a+
| ||
| a |
此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，
|
|
（
|
|
（
| ||||||||||||||||||||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||||||||||||||||||
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
a-
| ||
| a |
a+
| ||
| a |
a-
| ||
| a |
a+
| ||
| a |
（ii）当△=4a2-4a≤0时，即0＜a≤1时，ax2-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此时f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．…（13分）
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．
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