题目内容

已知向量 $数学公式$ （λ≠0）， $数学公式$ ，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，求向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角；
（Ⅱ）若 $数学公式$ 对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
设向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，得
$\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$
=λsin（α-β）= $\text{[math]}$ λ
∴|λ|cosθ= $\text{[math]}$ λ?cosθ=± $\text{[math]}$
∵θ∈[0，π]
∴θ= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
（Ⅱ） $\text{[math]}$
代入（1）的运算结果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =λsin（α-β），
得 $\text{[math]}$
不等式 $\text{[math]}$ 化为：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴ $\text{[math]}$ ?λ≤-3或λ≥3
∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）
分析：（Ⅰ）首先利用向量模的坐标公式求出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度，从而得到 $\text{[math]}$ ，然后利用向量数理积的坐标公式，得到 $\text{[math]}$ =λsin（β-α）=- $\text{[math]}$ λ，最后解关于夹角θ的方程，可得向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；
（Ⅱ）代入（1）的运算结果，将不等式 $\text{[math]}$ 整理为：λ²-2λsin（β-α）-1≥0对任意实数α、β都成立，再结合正弦函数的有界性，建立关于λ的不等式组，解之可得满足条件的实数λ的取值范围．
点评：本题综合了平面向量的数量积、和与差的三角函数以及不等式恒成立等知识点，属于难题．解题时应该注意等价转化和函数方程思想的运用．