题目内容
【题目】已知两个无穷数列和
的前
项和分别为
,
,
,
,对任意的
,都有
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若 为等差数列,对任意的
,都有
.证明:
;
(3)若 为等比数列,
,
,求满足
的
值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:利用题目提供的 方面的关系,借助
转化为
的关系,证明出
满足等差数列定义,利用等差数列通项公式求出
,进而得出
,
成等差数列,写出
,根据
恒成立,得出
和公差
的要求,比较
的大小可采用比较法;
是以
为首项,
为公比的等比数列,求出
和
,根据题意求出
的值.
试题解析:
(1)由,得
,
即,所以
.
由,
,可知
.
所以数列是以
为首项,
为公差的等差数列.
故的通项公式为
.
(2)证法一:设数列的公差为
,则
,
由(1)知, .
因为,所以
,即
恒成立,
所以 即
又由,得
,
所以
.
所以,得证.
证法二:设的公差为
,假设存在自然数
,使得
,
则,即
,
因为,所以
.
所以,
因为,所以存在
,当
时,
恒成立.
这与“对任意的,都有
”矛盾!
所以,得证.
(3)由(1)知, .因为
为等比数列,且
,
,
所以是以
为首项,
为公比的等比数列.
所以,
.
则,
因为,所以
,所以
.
而,所以
,即
(*).
当,
时,(*)式成立;
当时,设
,
则,
所以.
故满足条件的的值为
和
.

【题目】某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2组 | [165,170) | n | 0.350 |
第3组 | [170,175) | 30 | p |
第4组 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5组 | [180,185] | 10 | 0.100 |
合计 | 100 | 1.000 |
(1)求频率分布表中n,p的值,并补充完整相应的频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率.