题目内容

【题目】已知两个无穷数列的前项和分别为 对任意的,都有

1)求数列的通项公式;

2)若 为等差数列,对任意的,都有证明:

3)若 为等比数列 求满足 值.

【答案】1)(2

【解析】试题分析:利用题目提供的 方面的关系,借助转化为的关系,证明出满足等差数列定义,利用等差数列通项公式求出,进而得出 成等差数列,写出,根据恒成立,得出和公差的要求,比较的大小可采用比较法; 是以为首项, 为公比的等比数列,求出,根据题意求出的值.

试题解析:

1,得

,所以

,可知

所以数列是以为首项, 为公差的等差数列

的通项公式为

2证法一:设数列的公差为,则

由(1)知,

因为,所以,即恒成立,

所以

又由,得

所以

所以,得证

证法二:设的公差为,假设存在自然数,使得

,即

因为,所以

所以

因为,所以存在,当时, 恒成立

这与“对任意的,都有”矛盾!

所以,得证

3由(1)知, 因为 为等比数列,且

所以是以为首项, 为公比的等比数列

所以

因为,所以,所以

,所以,即(*)

时,(*)式成立;

时,设

所以

故满足条件的的值为

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