Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD= ， AB=2，CD=3，M为PC上一点，PM=2MC．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求二面角D﹣MB﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（1）在DC上取点E，使DE=2，
则DE∥AB，DE=AB，
则四边形ABED是平行四边形，
则EB∥AD，
∵，∴PD∥ME，
则平面PAD∥平面MBE，
∵BM平面MBE，BM平面PAD，
∴BM∥平面PAD
（2）△ABD是正三角形，建立以D为坐标原点的空间直角坐标系如图：

则B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），M（0，2，1），
=（，1，0），=（0，2，1），
设平面DBM的法向量为=（x，y，z），
则由=x+y=0，=2y+z=0，得，
令x=1，则y=﹣，z=2则=（1，﹣，2），
设平面MBC的法向量为=（x，y，z），=（﹣，2，0），=（0，1，﹣1），
则=﹣x+2y=0，=y﹣z=0，
令x=2，则y=，z=，
即=（2，，），
则cos＜，＞====，
则二面角D﹣MB﹣C的正弦值sinα==．
即平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值是．

【解析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D﹣MB﹣C的正弦值。