题目内容
(本小题满分14分)
平面直角坐标系中,已知直线:,定点,动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若为轨迹上的点,以为圆心,长为半径作圆,若过点可作圆的两条切线,(,为切点),求四边形面积的最大值.
平面直角坐标系中,已知直线:,定点,动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若为轨迹上的点,以为圆心,长为半径作圆,若过点可作圆的两条切线,(,为切点),求四边形面积的最大值.
解(1)设点到的距离为,依题意得,
即, ………………………………2分
整理得,轨迹的方程为. ………………………………4分
(2)(法一)设 ,圆:,其中
由两切线存在可知,点在圆外,
所以,,即,
又为轨迹上的点,所以.
而,所以,,即. ……………………6分
由(1)知,为椭圆的左焦点,
根据椭圆定义知,,
所以,而,
所以,在直角三角形中,
,
,
由圆的性质知,四边形面积,其中.………10分
即().
令(),则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,在时,取极大值,也是最大值,
此时. …………………………14分
(法二)同法一,四边形面积,其中.…10分
所以.
由,解得,所以. ……………………14分
即, ………………………………2分
整理得,轨迹的方程为. ………………………………4分
(2)(法一)设 ,圆:,其中
由两切线存在可知,点在圆外,
所以,,即,
又为轨迹上的点,所以.
而,所以,,即. ……………………6分
由(1)知,为椭圆的左焦点,
根据椭圆定义知,,
所以,而,
所以,在直角三角形中,
,
,
由圆的性质知,四边形面积,其中.………10分
即().
令(),则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,在时,取极大值,也是最大值,
此时. …………………………14分
(法二)同法一,四边形面积,其中.…10分
所以.
由,解得,所以. ……………………14分
略
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