题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=
| 2 |
| PE |
| ED |
| BF |
| FA |
（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．
分析：（1）作FG∥BC交CD于G，根据线段间的比例关系可得
=
，PC∥EG，得到平面PBC∥平面EFG，
从而得到EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．证明∠AFD=∠CAD，AC⊥DF，PA⊥DF，可得 DF⊥平面PAC．
| PE |
| ED |
| CG |
| GD |
从而得到EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．证明∠AFD=∠CAD，AC⊥DF，PA⊥DF，可得 DF⊥平面PAC．
解答：解：（1）作FG∥BC交CD于G，连接EG，则
=
，
=
= λ，∴
=
，
∴PC∥EG．又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．又EF不在平面PBC内，
∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，又AB=
AD，AF=
AB，
∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中，tan∠AFD=
=
=
，tan∠CAD=
=
=
，
∴∠AFD=∠CAD，∴AC⊥DF，又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．
| BF |
| FA |
| CG |
| GD |
| PE |
| ED |
| BF |
| FA |
| PE |
| ED |
| CG |
| GD |
∴PC∥EG．又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．又EF不在平面PBC内，
∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，又AB=
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中，tan∠AFD=
| AD |
| AF |
| AD | ||||
|
| 2 |
| CD |
| AD |
| ||
| AD |
| 2 |
∴∠AFD=∠CAD，∴AC⊥DF，又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．
点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，判断λ=1时，DF⊥平面PAC，
是解题的难点．
是解题的难点．
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