Question

【题目】已知函数f (x)＝若函数f (x)的图象与直线y＝x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为________.

Answer 1

【答案】{－20，－16}

【解析】当x<1时，f (x)＝sin x与y＝x的图象有1个交点，为(0，0)，则当x≥1时，f (x)＝x3－9x2＋25x＋a与y＝x的图象有2个交点，即关于x的方程x3－9x2＋24x＋a＝0在x∈[1，＋∞)有两个不同解.令g(x)＝x3－9x2＋24x＋a，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝4，且当x∈[1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2，4)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(4，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增.又因为g(1)＝g(4)＝16＋a，所以g(2)＝20＋a＝0或g(4)＝g(1)＝16＋a＝0，解得a＝－20或a＝－16，故实数a的取值集合为{－20，－16}.

故答案为：{－20，－16}