题目内容
【题目】已知,抛物线
:
与抛物线
:
异于原点
的交点为
,且抛物线
在点
处的切线与
轴交于点
,抛物线
在点
处的切线与
轴交于点
,与
轴交于点
.
(1)若直线与抛物线
交于点
,
,且
,求抛物线
的方程;
(2)证明: 的面积与四边形
的面积之比为定值.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)联立直线方程与抛物线方程,根据弦长公式以及韦达定理得等量关系,求出p,(2)先求M坐标,再求直线方程,进而求得A,B,C坐标,即得面积,最后作商.
试题解析:(1)解:由,消去
得
.
设,
的坐标分别为
,
,
则,
.
∴
,∵
,∴
.
故抛物线的方程为
.
(2)证明:由,得
或
,则
.
设直线:
,与
联立得
.
由,得
,∴
.
设直线:
,与
联立得
.
由,得
,∴
.
故直线:
,直线
:
,
从而不难求得,
,
,
∴,
,∴
的面积与四边形
的面积之比为
(为定值).
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