题目内容

【题目】已知,抛物线 与抛物线 异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.

(1)若直线与抛物线交于点 ,且,求抛物线的方程;

(2)证明: 的面积与四边形的面积之比为定值.

【答案】(1)(2)见解析

【解析】试题分析:(1)联立直线方程与抛物线方程,根据弦长公式以及韦达定理得等量关系,求出p,(2)先求M坐标,再求直线方程,进而求得A,B,C坐标,即得面积,最后作商.

试题解析:(1)解:由,消去.

的坐标分别为

.

,∵,∴.

故抛物线的方程为.

(2)证明:由,得,则.

设直线 ,与联立得.

,得,∴.

设直线 ,与联立得.

,得,∴.

故直线 ,直线

从而不难求得

,∴的面积与四边形的面积之比为(为定值).

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