Question

13．已知函数f（x）=$\frac{-2}{x-1}$．
（1）求证：f（x）在[2，3]上是增函数；
（2）求f（x）在[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由单调性的定义，由设自变量、作差、变形和定符号、下结论，即可得证；
（2）运用函数的单调性，计算即可得到最值．

解答 （1）证明：设2≤x₁＜x₂≤3，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{-2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{-2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
由2≤x₁＜x₂≤3，可得（x₁-1）（x₂-1）＞0，
x₂-x₁＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即为f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，3]上是增函数；
（2）解：由（1）可得，f（2）是最小值，且为-2；
f（3）是最大值，且为-1．

点评 本题考查函数的单调性的证明，注意运用定义，同时考查单调性的应用：求最值，属于基础题．