Question

（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，面面，是正三角形，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若异面直线所成角的余弦值为，求二面角的大小；

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）二面角的大小为

本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及二面角的平面角的求解的综合运用。
（1）利用先棉农垂直的性质定理得到线线垂直的证明即可。
（2）建立空间直角坐标系，然后表示出平面的法向量和法向量的夹角，即为二面角的平面角的求解。
解：（Ⅰ）证明：∵ 面⊥面，，且面面，
∴ 面．
又∵ 面，
∴ ．                                ………6分
（Ⅱ）取的中点，连接,则,有,以为原点建立坐标系如图所示.

设,,则有
,根据已知
,即,解得
根据,
可得平面的法向量，
而平面的法向量，于是

因此，二面角的大小为.          ………12分