题目内容
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥
中,面
面
,
是正三角形,
.

(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若异面直线
所成角的余弦值为
,求二面角
的大小;
如图,在三棱锥






(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若异面直线



(Ⅰ)证明见解析
(Ⅱ)二面角
的大小为
(Ⅱ)二面角


本试题主要是考查了线线垂直的证明,以及二面角的平面角的求解的综合运用。
(1)利用先棉农垂直的性质定理得到线线垂直的证明即可。
(2)建立空间直角坐标系,然后表示出平面的法向量和法向量的夹角,即为二面角的平面角的求解。
解:(Ⅰ)证明:∵ 面
⊥面
,
,且面
面
,
∴
面
.
又∵
面
,
∴
. ………6分
(Ⅱ)取
的中点
,连接
,则
,有
,以
为原点建立坐标系如图所示.

设
,
,则有
,根据已知
,即
,解得
根据
,
可得平面
的法向量
,
而平面
的法向量
,于是

因此,二面角
的大小为
. ………12分
(1)利用先棉农垂直的性质定理得到线线垂直的证明即可。
(2)建立空间直角坐标系,然后表示出平面的法向量和法向量的夹角,即为二面角的平面角的求解。
解:(Ⅰ)证明:∵ 面







∴


又∵


∴

(Ⅱ)取







设






根据

可得平面


而平面



因此,二面角



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