Question

【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 所以，CC1⊥AC．
因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．
所以AC⊥B1C．
（Ⅱ）连接BC1 ， 交B1C于E．
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，
所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．
又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1 ．
因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，
所以，AC1∥平面B1CD．

【解析】（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC，从而得到AC⊥平面BB1C1C，进而得到AC⊥B1C．
（Ⅱ） 取B1C中点E，得到 DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1 ， 由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD．