题目内容

（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若，求的值．
（2）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线
C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；  
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

【答案】分析：（1）（Ⅰ）连接OD，可得∠OAD=∠OAD=∠DAC，可得OD∥AE，再由AE⊥DE，OD⊥DE，证得DE是⊙O的切线．
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，求出cos∠DOH=cos∠CAN==．再由△ADE∽△ADB以及△AEF∽△ODF，可得=．
（2）（Ⅰ）把曲线C方程的两边同时乘以ρ 可得 ρ2sin2θ=2a•ρ•cosθ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式求出它的直角坐标方程，由直线L的参数方程消去参数t，求出它的普通方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入 y2=2ax，再利用根与系数的关系，求出t1+t2 和t1•t2 的值，代入|MN|2=|PM||PN|，求出a的值．
解答：解：（1）（Ⅰ）证明：连接OD，可得∠OAD=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE．
又 AE⊥DE，OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．-----（6分）
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAN，∴cos∠DOH=cos∠CAN==．------（6分）
设 OD=5x，则 AB=10x，OH=3x，DH=4x．
∴AH=8x，AD2=80x2，-----（8分）
由△ADE∽△ADB可得  AD2=AE•AB=AE•10x，∴AE=8x．
又△AEF∽△ODF，=．------（12分）
（2）解：（Ⅰ）已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2a•ρ•cosθ，即 y2=2ax．
直线L的参数方程 ，两式相减可得 y=x-2．-------（6分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为 （t为参数），
代入 y2=2ax得到 ，
则有 t1+t2=2（4+a），t1•t2=8（4+a），-----------（8分）
因为|MN|2=|PM||PN|，所以=-4 t1•t2=t1•t2，
解得 a=1．-----------（12分）
点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，等比数列的定义和性质，圆的切线判定定理的应用，属于基础题．
练习册系列答案
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选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
12
2a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．
（2013•盐城二模）（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D．求证：CD⊥AE．
（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若
AC
AB
=
3
5
，求
AF
DF
的值．
（2）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线
C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：
x=-2+
2
2
t
y=-4+
2
2
t
，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；  
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
精英家教网（1）如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C．已知圆O半径为y=x-1（1≤x≤2），OP=2，则PC=
 
，∠ACD的大小为
 
．
（2）在极坐标系中，点（2，
π2
）关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为
 
．

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