Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，

由 解得 ，

所以圆心M的坐标为（1，﹣2），

所以圆M的半径为r= ，

所以圆M的方程为 （x﹣1）2+（y+2）2=2

（2）解：因为直线l被圆M截得的弦长为 ，

所以圆心M到直线l的距离为d= = ，

若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，

由d= = ，

整理得k2+8k+7=0，

解得k=﹣1或﹣7，

所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0

【解析】（1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为 ，求直线l的方程．