题目内容
(13分)如图,四棱锥
的底面是正方形,
,点
在棱
上.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)当
且
为
的中点时,求四面体
体积.




(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)当






(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)四面体
体积为
。


(I)根据面面垂直的判定定理,只须证明
即可.
(II)
.
(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,……….1
∵
,
∴PD⊥AC,……………………………………….3
∴AC⊥平面PDB,……………………………….4

∴平面
………………………..6
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,…………………………7
∵O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE//PD,
∴OE//PAD,…………………………………………8
∴
……………………….9
…………………………..10
过O作OF⊥AD于F,则OF⊥PAD且OF=
………11
∴
∴ 四面体
体积为
……………………………13.

(II)

(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,……….1
∵


∴PD⊥AC,……………………………………….3
∴AC⊥平面PDB,……………………………….4

∴平面

(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,…………………………7
∵O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE//PD,
∴OE//PAD,…………………………………………8
∴


过O作OF⊥AD于F,则OF⊥PAD且OF=

∴

∴ 四面体



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