题目内容
【题目】已知圆M:(x+m)2+y2=4n2(m,n>0且m≠n),点N(m,0),P是圆M上的动点,线段PN的垂直平分线交直线PM于点Q,点Q的轨迹为曲线C.
(1)讨论曲线C的形状,并求其方程;
(2)若m=1,且△QMN面积的最大值为.直线l过点N且不垂直于坐标轴,l与曲线C交于A,B,点B关于x轴的对称点为D.求证:直线AD过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1)曲线的形状答案不唯一,见解析,曲线的方程;(2)见解析,定点(4,0)
【解析】
(1)当m>n,由题意得QN-QM=2n<2m,此时Q点轨迹为双曲线的左支;当m<n,
QN+QM=2n>2m,此时Q点轨迹为椭圆.根据概念直接求轨迹方程即可得解.
(2)由题意得Q点方程为,N(1,0),设直线l:x=my+1,A(x1,y1),
B(x2,y2),D(x2,﹣y2),联立方程得,
,表示出直线AD的方程后即可得直线恒过(4,0),即可得证.
(1)当m>n,即N点在圆M外时,轨迹是双曲线,如图:
因为QP=QN,则QN-QM=QP-QM=MP=r=2n<MN=2m,
所以点Q的轨迹是以M,N为焦点,以2n为实轴长的双曲线的左支,则Q点轨迹方程为;
当m<n,即N点在圆M内时,轨迹是椭圆,如图:
因为QP=QN,则QN+QM=QP+QM=MP=r=2n>MN=2m,所以点Q的轨迹是以M,N为焦点,以2n为长轴长的椭圆,则Q点轨迹方程为;
(2)因为△QMN的面积有最大值,故此时Q点轨迹是椭圆,即Q点所在方程为,
且当Q点为上(下)短轴顶点时△QMN的面积最大,即有2
,
解得n2=4,
所以Q点方程为,N(1,0),设直线l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),D(x2,﹣y2),
联立,整理得
,则
,
,
因为,
所以直线AD的方程为,
令y=0,得,
则直线AD必过点(4,0),证毕.
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