题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$ ， $数学公式$ （n∈N^），数列{b_n}=1-{a_n}²（n∈N^），数列{c_n}_^={a_n+1}²-{a_n}²
（n∈N^*）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{c_n}的通项公式；
（3）是否存在数列c_n的不同项c_i，c_j，c_k（i＜j＜k），使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0（n∈N^*） $\text{[math]}$ ，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²）
a_n+1²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a_n²， $\text{[math]}$
所以{b_n}是 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列
（2） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
（3）假设存在c_i，c_j，c_k满足题意成等差2c_j=c_i+c_k代入得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，这样三项不存在．
分析：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0， $\text{[math]}$ ，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），a_n+1²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a_n²， $\text{[math]}$ ，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出{c_n}的通项公式．
（3）假设存在c_i，c_j，c_k满足题意成等差2c_j=c_i+c_k代入得 $\text{[math]}$ ，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，故这样三项不存在．
点评：本题考查等比数列的证明、求解数列通项公式的方法和等差中项的综合运用，解题时要认真审题，仔细思考，注意合理地进行等价转化．