题目内容

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy=1在矩阵
.
cosθsinθ
-sinθcosθ
.
（0≤θ＜
π
2
）对应的变换作用下得到曲线F，且曲线F的方程为x2-y2=a2（a＞0），求θ和a的值．
分析：设P（x0，y0）是曲线C上任意一点，则P（x0，y0）在矩阵[
cosθsinθ
-sinθcosθ
]对应的变换作用下变为P′（x0′，y0′）满足[
x
′
0
 
y
′
0
 
]=[
cosθsinθ
-sinθcosθ
][
x0 
y0 
]，由P满足x0y0=1可得（
x
′  2
0
-
y
′  2
0
）sinθcosθ+（cos2θ-sin2θ）x0′y0′=1，结合曲线F的方程，可得θ，进而得到a值．
解答：解：设P（x0，y0）是曲线C上任意一点，
点P（x0，y0）在矩阵[
cosθsinθ
-sinθcosθ
]（0≤θ＜
π
2
）对应的变换作用下变为P′（x0′，y0′）
则由[
x
′
0
 
y
′
0
 
]=[
cosθsinθ
-sinθcosθ
][
x0 
y0 
]
∴[
x0 
y0 
]=[
cosθ-sinθ
sinθcosθ
][
x
′
0
 
y
′
0
 
]
∴
x0=
x
′
0
cosθ-
y
′
0
sinθ
y0=
x
′
0
sinθ+
y
′
0
cosθ

又∵点P在曲线C上，
∴由x0y0=1得：（
x
′  2
0
-
y
′  2
0
）sinθcosθ+（cos2θ-sin2θ）x0′y0′=1（*）
要使（*）变为x2-y2=a2（a＞0），
须有：cos2θ-sin2θ=cos2θ=0
∵0≤θ＜
π
2

∴θ=
π
4

此时a=
2

∴θ=
π
4
，a=
2
点评：本题考查的知识点是系数矩阵的逆矩阵解方程组，其中熟练掌握矩阵的运算方法是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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