题目内容

如图，点M为扇形AOB的弧的四等分点即
AM
=
1
4
AB
，动点C、D分别在线段OA、OB上，且OC=BD若OA=1，∠AOB=120°，则MC+MD的最小是
4-
3
4-
3
．
分析：如图，连结OM，设OC=a，则OD=1-a，∠AOC=30°，∠MOD=90°，利用余弦定理求得MC，利用勾股定理求得MD，可得MC+MD，再根据两点间的距离公式求得MC+MD的最小值．
解答：解：如图所示：连结OM，设OC=a，则OD=1-a，∠AOC=
1
4
×120°=30°，∠MOD=90°．
由余弦定理可得：MC=
a2+12-2×1×a×cos30°
=
(a-
3
2
)2+
1
4
，
∴MD=
(1-a)2+1
=
(a-1)2+1
．
由于
MC+MD=
(a-
3
2
)2+(0-
1
2
)2
+
(a-1)2+(0-(-1))2
，表示点（a，0）到点（
3
2
，
1
2
）和点（1，-1）的距离之和，
故有
MC+MD≥
(1-
3
2
)2+(
1
2
-(-1))2
=
4-
3
，可得MC+MD的最小值为
4-
3
，
故答案为：
4-
3
．
点评：本题主要考查余弦定理、两点间的距离公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•广东模拟）（几何证明选讲选做题）如图，点M为⊙O的弦AB上的一点，连接MO．MN⊥OM，MN交圆于N，若MA=2，MB=4，则MN=
2
2
2
2
．
（2013•嘉兴一模）已知椭圆C：
x22
+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点．
（Ⅰ）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；
（Ⅱ）如图②，直线l：y=k+m与椭圆C上相交于P，G两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．
已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点．
（I）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；
（II）如图②，直线l：：y=k+m与椭圆C上相交于P，G两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．
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