题目内容
【题目】如图,点是平行四边形
所在平面外一点,
平面
,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设中点
,
交
于
,连
,
,可先证明
平面
,再证明四边形
是平行四边形,则
,从而
平面
,进而利用面面垂直的判定定理可得结论;(Ⅱ)以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
试题解析:(Ⅰ)证明:取中点
,连
交
于
,连
,
.
在菱形中,
,
∵平面
,
平面
,
∴,
又,
,
平面
,
∴平面
,
∵,
分别是
,
的中点,
∴,
,
又,
,
∴,
,
∴四边形是平行四边形,则
,
∴平面
,
又平面
,
∴平面平面
.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得平面
,则
,
,
两两垂直,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则
,
,
,
,
,
,
,
设是平面
的一个法向量,则
即
取,得
,
,∴
,
设是平面
的一个法向量,
同理得, .
∴,
∴二面角的余弦值为
.
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