题目内容

已知半椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（
6
3
，-
3
3
）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为
y2
2
+x2=1（y≥0）
y2
2
+x2=1（y≥0）
．
分析：由点M（
6
3
，-
3
3
）在半圆上，可求b，然后求出G，H，A，根据已知AGM的面积最大的条件可知，OM⊥AG，
即KOM•KAG=-1，代入可求a，进而可求椭圆方程
解答：解：由点M（
6
3
，-
3
3
）在半圆上，
所以b=1，
∵G（0，a），H（0，-a），A（-b，0）
而当点M位于（
6
3
，-
3
3
）时，△AGM的面积最大可知，OM⊥AG，
即KOM•KAG=-1，
∵
-
3
3
6
3
=-
2
2
，KAG=
a
b
=a
∴-
2
2
•a═-1
∴a=
2
，b=1
所以半椭圆的方程为
y2
2
+x2=1（y≥0）
故答案为：
y2
2
+x2=1（y≥0）
点评：本题主要考查了椭圆方程的求解，直线的垂直与斜率关系的应用，解题的关键是灵活利用椭圆的性质
练习册系列答案
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精英家教网已知半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2+y2=b2（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(
6
3
，-
3
3
)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE2+BF2为定值．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
（2012•烟台一模）直线l与椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且椭圆的离心率e=
3
2
，又椭圆经过点(
3
2
，1)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1的一个焦点为F(0，2
2
)，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量
AB
与向量
m
=(-1，
2
)共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．

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