题目内容

已知半椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(y≥0,a>b>0)和半圆x2+y2=b2(y≤0)组成的曲线C如图所示.曲线C交x轴于点A,B,交y轴于点G,H,点M是半圆上异于A,B的任意一点,当点M位于点(
6
3
,-
3
3
)时,△AGM的面积最大,则半椭圆的方程为
y2
2
+x2=1
(y≥0)
y2
2
+x2=1
(y≥0)
分析:由点M(
6
3
,-
3
3
)在半圆上,可求b,然后求出G,H,A,根据已知AGM的面积最大的条件可知,OM⊥AG,
即KOM•KAG=-1,代入可求a,进而可求椭圆方程
解答:解:由点M(
6
3
,-
3
3
)在半圆上,
所以b=1,
∵G(0,a),H(0,-a),A(-b,0)
而当点M位于(
6
3
,-
3
3
)时,△AGM的面积最大可知,OM⊥AG,
即KOM•KAG=-1,
-
3
3
6
3
=-
2
2
,KAG=
a
b
=a
-
2
2
•a
═-1
∴a=
2
,b=1
所以半椭圆的方程为
y2
2
+x2=1
(y≥0)
故答案为:
y2
2
+x2=1
(y≥0)
点评:本题主要考查了椭圆方程的求解,直线的垂直与斜率关系的应用,解题的关键是灵活利用椭圆的性质
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