Question

已知半椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1 (y≥0)和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1 (y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(

6

3

，-

3

3

)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知(

6

3

)2+(-

3

3

)2=b2，所以b=1，由此可知半圆x²+y²=b²（y≤0）在点M处的切线与直线AG平行，所以OM⊥AG，kAG=

2

=

a

b

，所以a=

2

，所以曲线C的方程为x2+

y2

2

=1 (y≥0)或x²+y²=1（y≤0）．
（2）设P（x₀，y₀），则有直线PC的方程为y-

2

=

y0- 2

x0-1

(x-1)，令y=0，得B₁，所以AE=2-

2 (x0-1)

y0- 2

；直线PD的方程为y-

2

=

y0- 2

x0+1

(x+1)，令y=0，得xF=-1-

2 (x0+1)

y0- 2

，BF=2+

2 (x0+1)

y0- 2

．由此入手能够推导出AE²+BF²为定值．

解答：解：（1）已知点M(

6

3

，-

3

3

)
在半圆x²+y²=b²（y≤0）上，
所以(

6

3

)2+(-

3

3

)2=b2，又b＞0，
所以b=1，当半圆x²+y²=b²（y≤0）
在点P处的切线与直线AG平行时，
点P到直线AG的距离最大，
此时△AGP的面积取得最大值，
故半圆x²+y²=b²（y≤0）
在点M处的切线与直线AG平行，
所以OM⊥AG，又kOM=

yM-0

xM-0

=-

2

2

，
所以kAG=

2

=

a

b

，又b=1，所以a=

2

，（4分）
所以曲线C的方程为x2+

y2

2

=1 (y≥0)或x²+y²=1（y≤0）．
（2）点C(1，

2

)，点D(-1，

2

)，
设P（x₀，y₀），则有直线PC的方程为y-

2

=

y0- 2

x0-1

(x-1)，
令y=0，得x=1-

2 (x0-1)

y0- 2

，
所以AE=2-

2 (x0-1)

y0- 2

；
直线PD的方程为y-

2

=

y0- 2

x0+1

(x+1)，
令y=0，得xF=-1-

2 (x0+1)

y0- 2

，
所以BF=2+

2 (x0+1)

y0- 2

；
则AE2+BF2=[2-

2 (x0-1)

y0- 2

]2+[2+

2 (x0+1)

y0- 2

]2
=

4 x 2 0 +4

(y0- 2 )2

+

8 2

y0- 2

+8，
又由x₀²+y₀²=1，得x₀²=1-y₀²，
代入上式得AE²+BF²=

8-4 y 2 0

(y0- 2 )2

+

8 2

y0- 2

+8
=

8-4 y 2 0 +8 2 (y0- 2 )

(y0- 2 )2

+8
=

-4(y0- 2 )2

(y0- 2 )2

+8=4，所以AE²+BF²为定值．

点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．