题目内容
已知椭圆
+
=1的一个焦点为F(0,2
),与两坐标轴正半轴分别交于A,B两点(如图),向量
与向量
=(-1,
)共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为k的直线过点C(0,2),且与椭圆交于P,Q两点,求△POC与△QOC面积之比的取值范围.
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
2 |
AB |
m |
2 |
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为k的直线过点C(0,2),且与椭圆交于P,Q两点,求△POC与△QOC面积之比的取值范围.
分析:(1)利用向量共线,确定a,b的关系,结合椭圆的焦点坐标,即可求得椭圆的方程;
(2)直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,即可求得比值的范围.
(2)直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,即可求得比值的范围.
解答:解:(1)由向量
与向量
=(-1,
)共线,可得
=
∵焦点为F(0,2
),∴a2-b2=8,∴b2=8,a2=16
∴椭圆的方程为
+
=1;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1<0,x2>0,
PQ的方程为y=kx+2,代入椭圆方程消去y,可得(2+k2)x2+4kx-12=0
∴x1+x2=-
①,x1x2=-
②
设△POC与△QOC面积之比为λ,即-
=λ
结合①②得(1-λ)x1=-
,λx12=-
∴
=
(1+
)>
∴
<λ<3
∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为
<λ<3.
AB |
m |
2 |
a |
b |
2 |
∵焦点为F(0,2
2 |
∴椭圆的方程为
y2 |
16 |
x2 |
8 |
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1<0,x2>0,
PQ的方程为y=kx+2,代入椭圆方程消去y,可得(2+k2)x2+4kx-12=0
∴x1+x2=-
4k |
2+k2 |
12 |
2+k2 |
设△POC与△QOC面积之比为λ,即-
x2 |
x1 |
结合①②得(1-λ)x1=-
4k |
2+k2 |
12 |
2+k2 |
∴
λ |
(1-λ)2 |
3 |
4 |
2 |
k2 |
3 |
4 |
∴
1 |
3 |
∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为
1 |
3 |
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.
练习册系列答案
相关题目