题目内容

已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1
的一个焦点为F(0,2
2
)
,与两坐标轴正半轴分别交于A,B两点(如图),向量
AB
与向量
m
=(-1,
2
)
共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为k的直线过点C(0,2),且与椭圆交于P,Q两点,求△POC与△QOC面积之比的取值范围.
分析:(1)利用向量共线,确定a,b的关系,结合椭圆的焦点坐标,即可求得椭圆的方程;
(2)直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,即可求得比值的范围.
解答:解:(1)由向量
AB
与向量
m
=(-1,
2
)
共线,可得
a
b
=
2

∵焦点为F(0,2
2
)
,∴a2-b2=8,∴b2=8,a2=16
∴椭圆的方程为
y2
16
+
x2
8
=1

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1<0,x2>0,
PQ的方程为y=kx+2,代入椭圆方程消去y,可得(2+k2)x2+4kx-12=0
∴x1+x2=-
4k
2+k2
①,x1x2=-
12
2+k2

设△POC与△QOC面积之比为λ,即-
x2
x1

结合①②得(1-λ)x1=-
4k
2+k2
,λx12=-
12
2+k2

λ
(1-λ)2
=
3
4
(1+
2
k2
)
3
4

1
3
<λ<3

∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为
1
3
<λ<3
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.
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