Question

15．已知函数f（x）=ax³-bx²+cx+b-a（a＞0，b，c∈R）
（1）设c=0
①若a=b，f（x）在x=x₀处的切线过点（1，0），求x₀的值；
②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
（2）设f（x）在x=x₁，x=x₂两处取得极值，求证：f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同时成立．

Answer 1

分析 （1）①求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，代入点（1，0），即可得到所求值；
②若a＞b，c=0，求出导数，讨论b，结合函数的单调区间，即可求得最大值；
（2）运用反证法证明．假设存在a，b，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同时成立．设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），根据极值和二次函数的性质，即可得到矛盾，进而得证．

解答 （1）解：①若a=b，c=0，则f（x）=a（x³-x²），f′（x）=a（3x²-2x），
f（x）在x=x₀处的切线斜率为k=a（3x₀²-2x₀），
则切线方程为y-a（x₀³-x₀²）=a（3x₀²-2x₀）（x₀-1），
又切线过点（1，0），则a（3x₀²-2x₀）（x₀-1）=a（x₀³-x₀²），
解得x₀=0或1；
②若a＞b，c=0，则f′（x）=3ax²-2bx=3ax（x-$\frac{2b}{3a}$），
可得x=0或x=$\frac{2b}{3a}$＜1，
若b≤0，则f′（x）≥0，f（x）为（0，1]上的增函数，f（x）的最大值为：f（1）=0，
若b＞0，在（0，$\frac{2b}{3a}$）上f′（x）＜0，f（x）递减；
在（$\frac{2b}{3a}$，1）上f′（x）＞0，f（x）递增．
f（0）=b-a＜0，f（1）=0，
则有f（x）的最大值为f（1）=0．
综上可得，f（x）在区间[0，1]上的最大值为0；
（2）证明：假设存在a，b，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同时成立．
设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），
由f（x）在x=x₁，x=x₂两处取得极值，
则f′（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-x₁）（x-x₂）（a＞0），
由x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，f（x）为（x₁，x₂）内的减函数，
则有f（x₁）＞f（x₂），
这与f（x₁）＜f（x₂）矛盾．
故f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同时成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间和极值，主要考查导数的几何意义，运用分类讨论的思想方法和反证法的思想是解题的关键．