Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=6，AA₁=4，M是A₁C₁的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD₁的中点，求：
（1）M到直线PQ的距离；
（2）M到平面AB₁P的距离．

Answer 1

如图，建立空间直角坐标系B-xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2）．
（1）∵

QM

=（-2，-3，2），

QP

=（-4，-2，-2），
∴

QM

在

QP

上的射影为

QM • QP

| QP |

=

(-2)×(-4)+(-3)×(-2)+2×(-2)

(-4)2+(-2)2+(-2)2

=

5 6

6

，
故M到PQ的距离为

QM 2-( 5 6 6 )2

=

462

6

．
（2）设

n

=（x，y，z）是平面AB₁P的法向量，则

n

⊥

AB1

，

n

⊥

AP

，
∵

AB1

=（-4，0，4），

AP

=（-4，4，0），
∴

-4x+4z=0 -4x+4y=0

．
因此可取

n

=（1，1，1），由于

MA

=（2，-3，-4），
那么点M到平面AB₁P的距离为d=

| MA • n |

| n |

=

|2×1+(-3)×1+(-4)×1|

3

=

5 3

3

，
故M到平面AB₁P的距离为

5 3

3

．