Question

19．已知sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$且$\frac{π}{2}$＜x＜π，求$\frac{2co{s}^{3}x-sin2xcosx}{1+cos2x}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数关系，求出cos（$\frac{π}{4}$+x）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再化简$\frac{2co{s}^{3}x-sin2xcosx}{1+cos2x}$=cosx-sinx=cos（$\frac{π}{4}$+x），即可得出结论．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜x＜π，
∴$\frac{3}{4}π$＜$\frac{π}{4}$+x＜$\frac{5}{4}$π，
∵sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$+x）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{2co{s}^{3}x-sin2xcosx}{1+cos2x}$=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$+x）=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式、辅助角公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．