Question

如图,在圆锥PO中,已知PO=,☉O的直径AB=2,C是的中点,D为AC的中点.

求证:平面POD⊥平面PAC.

Answer 1

见解析

【证明】如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).
设n₁=(x₁,y₁,z₁)是平面POD的一个法向量,则由n₁·=0,n₁·=0,
得
所以z₁=0,x₁=y₁.取y₁=1,得n₁=(1,1,0).
设n₂=(x₂,y₂,z₂)是平面PAC的一个法向量,
则由n₂·=0,
n₂·=0,得
所以x₂=-z₂,y₂=z₂.
取z₂=1,得n₂=(-,,1).
因为n₁·n₂=(1,1,0)·(-,,1)=0,
所以n₁⊥n₂.
从而平面POD⊥平面PAC.