Question

13．已知$sinθ+cosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0＜θ＜π$，
（1）求sin³θ+cos³θ的值；
（2）求cosθ-sinθ的值；
（3）求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）原式利用立方和公式变形，利用同角三角函数间的基本关系化简，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式平方后，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，将sinθcosθ的值代入，开方即可求出值；
（3）联立求出sinθ与cosθ的值，即可确定出tanθ的值．

解答 解：（1）∵sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$①，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{2}{9}$，即sinθcosθ=-$\frac{7}{18}$，
则原式=（sinθ+cosθ）（1-sinθcosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{25}{18}$=$\frac{{25\sqrt{2}}}{54}$；
（2）∵0＜θ＜π，
∴sinθ-cosθ＞0，
∵（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{16}{9}$，
∴sinθ-cosθ=$\frac{4}{3}$，
则cosθ-sinθ=-$\frac{4}{3}$②；
（3）联立①②，解得：sinθ=$\frac{\sqrt{2}+4}{6}$，cosθ=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$，
则tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{2}+4}{6}}{\frac{\sqrt{2}-4}{6}}$=-$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．