Question

1．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan$\frac{B}{2}=\frac{sinB}{1+cosB}$；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．
（Ⅱ）通过A+C=180°，得D=180°-B，利用（Ⅰ）化简tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$=$\frac{1-cosB}{sinB}$+$\frac{1-cosD}{sinD}$=$\frac{2}{sinB}$，连结AC，求出sinB，然后求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）tan$\frac{B}{2}$=$\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{sinB}{2co{s}^{2}\frac{B}{2}}$=$\frac{sinB}{1+cosB}$，等式成立
（Ⅱ）由A+C=180°，得D=180°-B，
由（Ⅰ）可知：tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$=$\frac{1-cosB}{sinB}$+$\frac{1-cosD}{sinD}$=$\frac{2}{sinB}$
连结AC，在△ABC中，有AC²=6²+3²-2•6•3cosB，
在△ACD中，有AC²=5²+4²-2•5•4cosD，
所以6²+3²-2•6•3cosB=5²+4²-2•5•4cosD，
则：cosB=$\frac{1}{19}$，
于是sinB=$\frac{6\sqrt{10}}{19}$．
所以tan$\frac{B}{2}+tan\frac{D}{2}$=$\frac{19\sqrt{10}}{30}$．

点评 本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用．