题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1= $数学公式$ 且b_n=a_2n-2（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）若C_n=-nb_n，S_n为为数列{C_n}的前n项和，求S_n-2．

（1）解：a₂= $\text{[math]}$ ，a₃=- $\text{[math]}$ ，a₄= $\text{[math]}$ ；
（2）证明： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又b₁=a₂-2=- $\text{[math]}$ ∴数列{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列
b_n=（- $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
（3）由（2）知c_n=n $\text{[math]}$
S_n= $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +…+n $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ +n $\text{[math]}$ ②
①-②得： $\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -n $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ -n• $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴S_n=2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$
∴S_n-2=- $\text{[math]}$
分析：（1）分别将n=1，2，3，4代入到a_n+1= $\text{[math]}$ 中即可得到a₂，a₃，a₄的值．
（2）根据b_n=a_2n-2，然后进行整理即可得到b_n+1= $\text{[math]}$ b_n，从而证明数列{b_n}是等比数列，进而可求出数列{b_n}的通项公式．
（3）先根据（2）中{b_n}的通项公式求出 C_n=-nb_n，利用错位相减法求得数列{C_n}的前n项和，进而求得S_n-2．
点评：此题考查了有数列的递推关系求前4项的数值，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求数列的前n项和，考查运算能力，属中档题．