题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，M，N分别是
，
的中点，且
.
（1）求
的长度；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）先由题意得到
，建立空间直角坐标系，设
，根据
，用向量的方法，即可求出结果；
（2）由（1）的结果，用向量的方法求出平面
的一个法向量，以及平面
的一个法向量，由向量夹角公式，求出两法向量的夹角余弦值，即可得出结果.
（1）在
中，
，
，
则
，所以.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则
，
，
，
，
，
，
所以
，
.
因为，
所以
，
解得
，即
的长为.
（2）由（1）知，
，
由N是
的中点，得
.
所以
，
.
设平面的法向量
，
由
，
，
得
取
.
又
，
，
设平面的法向量
，
由
，
，
得
取
.
设平面与平面所成锐二面角的大小为
，
则
.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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