Question

【题目】设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）若 ，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（﹣1，0）内无极值，求a的取值范围；
（3）设n∈N* ， x＞0，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时，

所以f'（x）=ex﹣1+xex﹣x=（ex﹣1）（x+1）

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；

当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0

故f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，+∞）单调递增，在（﹣1，0）单调递减

（2）解：若f（x）在（﹣1，0）内无极值，则f（x）在（﹣1，0）上单调，

又f'（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1

①若f（x）在（﹣1，0）上递减，则f'（x）≤0，对x∈（﹣1，0）恒成立，

于是有 ，令 ，

下面证明h（x）在（﹣∞，0）上单调递增： ，令r（x）=（r﹣1）ex+1，则r'（x）=（x﹣1）ex+ex=xex

当x＜0时，r'（x）＜0，r（x）单调递减，r（x）＞r（0）=0，h'（x）＞0h（x）在（﹣∞，0）单调递增．

当x∈（﹣1，0）时，由g（x）=ex+h（x）是增函数，得g（x）＞g（﹣1）=1．

由2a≤g（x），得 ；

②若f（x）在（﹣1，0）上单调递增，则f'（x）≥0，对x∈（﹣1，0）恒成立，

于是2a≥g（x），当x∈（﹣1，0）时，由ex＞x+1得 ，

从而增函数g（x）=ex+h（x）＜2，这样2a＞2，a＞1．综上得

（3）证明：用数学归纳法证明①当n=1时，ex＞x+1，不等式成立；

②假设n=k时不等式成立，即 ，

当n=k+1时，令

显然（0）=0，由归纳假设， 对x＞0成立，

所以（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞0时，（x）＞（0）=0，即当n=k+1

时，不等式也成立．

综合①②n∈N+，x＞0时，

【解析】（1）当 时，f'（x）=ex﹣1+xex﹣x=（ex﹣1）（x+1），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（﹣1，0）内无极值，则f（x）在（﹣1，0）上单调，又f'（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，由此利用分类讨论思想及导数的性质能求出a的取值范围．（3）用数学归纳法能证明 ．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．