题目内容

(2012•广东模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S是该三角形的面积.
(1)若
a
=(2sin
B
2
cosB,sinB-cosB)
b
=(sinB+cosB,2sin
B
2
)
a
b
,求角B的度数;
(2)若a=8,B=
3
S=8
3
,求b的值.
分析:(1)由两向量的坐标及两向量平行,根据平面向量的数量积法则列出关系式,再利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后得出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;
(2)由B的度数求出sinB的值,再由a,已知三角形的面积S,利用三角形的面积公式求出c的值,再由a,c及cosB的值,利用余弦定理即可求出b的值.
解答:解:(1)∵
a
=(2sin
B
2
cosB,sinB-cosB)
b
=(sinB+cosB,2sin
B
2
)
a
b

∴4cosB•sin2
B
2
+cos2B=0,
∴4cosB•
1-cosB
2
+2cos2B-1=0,
∴cosB=
1
2

∵∠B∈(0,180°),
∴∠B=60°;…(6分)
(2)∵S=8
3

1
2
acsinB=8
3
,…(7分)
又a=8,B=
3

∴c=4,…(8分)
由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB=82+42-2•8•4cos120°=112,…(10分)
则b=4
7
.…(12分)
点评:此题考查了平面向量的数量积运算,余弦定理,三角形的面积公式,二倍角的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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