Question

3．已知函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）为偶函数，函数y=f（x）的图象在（1，f（1））处切线与直线2x-y-3=0平行，函数g（x）=$\frac{e^x}{f（x）}$．
（1）求a，b的值；
（2）讨论g（x）的单调性；
（3）若x₀为g（x）的极小值点，求g（x₀）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）为偶函数，可得b=0，利用函数y=f（x）的图象在（1，f（1））处切线与直线2x-y-3=0平行，得2a=2；
（2）求导数，分类讨论，即可讨论g（x）的单调性；
（3）x₀=$\sqrt{1-c}$，g（x₀）=${e}^{\sqrt{1-c}}$，即可求g（x₀）的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）为偶函数，
∴b=0，
∴f′（x）=2ax，
∵函数y=f（x）的图象在（1，f（1））处切线与直线2x-y-3=0平行，
∴2a=2，
∴a=1；
（2）g（x）=$\frac{e^x}{f（x）}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+c}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+c）}{（{x}^{2}+c）^{2}}$，
∴c≥1时，x²-2x+c≥0恒成立，g（x）在R上单调递增；
0＜c＜1，函数在（1-$\sqrt{1-c}$，1+$\sqrt{1-c}$）上单调递减，在（-∞，-$\sqrt{1-c}$），（$\sqrt{1-c}$，+∞）上单调递增；
（3）x₀=$\sqrt{1-c}$，g（x₀）=${e}^{\sqrt{1-c}}$，
∵0＜c＜1，
∴0＜1-c＜1，
∴g（x₀）=${e}^{\sqrt{1-c}}$∈（1，e）．

点评 本题考查二次函数的性质，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的解析式是关键．