题目内容

(2012•河北区一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=2
2
,CC1=4,M是棱CC1上一点.
(Ⅰ)求证:BC⊥AM;
(Ⅱ)若M,N分别是CC1,AB的中点,求证:CN∥平面AB1M;
(Ⅲ)若C1M=
3
2
,求二面角A-MB1-C的大小.
分析:(1)△ABC中,根据勾股定理的逆定理得BC⊥AC,结合直三棱柱中CC1⊥BC,可得BC⊥平面ACC1A1,从而得到BC⊥AM.
(2)连接A1B交AB1于P,根据平行四边形AA1B1B的性质,结合三角形中位线定理,可得NP与CM平行且相等,从而四边形MCNP是平行四边形,可得CN∥MP,再结合线面平行的判定定理,得到CN∥平面AB1M.
(3)以C为原点,CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,根据题意得到C、A、、B1、M各点的坐标,从而得到向量
AB
B1M
的坐标,再利用垂直向量数量积为零的方法,列方程组可求出平面AMB1的法向量
n
=(5,-3,4),结合平面MB1C的一个法向量
CA
=(2,0,0),利用空间两个向量的夹角公式,得到
n
CA
的夹角,即得二面角A-MB1-C的大小.
解答:解:(Ⅰ)∵三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴CC1⊥BC.                     …(1分)
∵AC=BC=2,AB=2
2

∴△ABC中,AC2+BC2=8=AB2,可得BC⊥AC.  …(2分)
∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1.              …(3分)
∵AM?平面ACC1A1
∴BC⊥AM.                      …(4分)
(Ⅱ)连接A1B交AB1于P.              …(5分)
∵三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是平行四边形
∴P是A1B的中点.
又∵M,N分别是CC1,AB的中点,
∴NP∥CM,且NP=CM,
∴四边形MCNP是平行四边形,可得CN∥MP.              …(7分)
∵CN?平面AB1M,MP?平面AB1M,…(8分)
∴CN∥平面AB1M.               …(9分)
(Ⅲ)∵BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC,
∴以C为原点,CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz.
由C1M=
3
2
,得C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),M(0,0,
5
2
),
∴向量
AB
=(-2,0,
5
2
),
B1M
=(0,-2,-
3
2
).                                          …(10分)
设平面AMB1的法向量
n
=(x,y,z),则
n
AM
=0,
n
B1M
=0.
(-2,0,
5
2
)•(x,y,z)=0
(0,-2,-
3
2
)•(x,y,z)=0
          …(11分)
令x=5,则y=-3,z=4,即
n
=(5,-3,4),
又平面MB1C的一个法向量是
CA
=(2,0,0),
∴cos<
n
CA
>=
n
CA
|n|
|CA|
=
2
2
.   …(12分)
由图可知二面角A-MB1-C为锐角,
∴二面角A-MB1-C的大小为
π
4
.                            …(14分)
点评:本题以一个特殊的直三棱柱为例,叫我们证明线面垂直和线面平行,并求二面角的大小.着重考查了空间线面平行、垂直位置关系的判定与性质,以及利用空间坐标系求平面与平面所成角的大小等知识,属于中档题.
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