题目内容

(本小题满分15分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且,使得曲线在点处的切线,则称为弦的伴随切线。特别地,当时,又称的λ——伴随切线。
(ⅰ)求证:曲线的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的;
(ⅱ)是否存在曲线C,使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线?若存在,给出一条这样的曲线 ,并证明你的结论; 若不存在 ,说明理由。
(Ⅰ)当时,没有极值;
时,的极大值为,没有极小值。(Ⅱ)见解析        
(Ⅰ)  
,函数内是增函数,
∴函数没有极值。       当时,令,得
变化时,变化情况如下表:






0


单调递增
极大值
单调递减
∴当时,取得极大值
综上,当时,没有极值;
时,的极大值为,没有极小值。          
(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点,要证明
有伴随切线,只需证明存在点,使得
,且点不在上。
,即证存在,使得,即成立,且点不在上。   …………………8分
以下证明方程内有解。…
,则


内是减函数,∴
,则,即。……9分
同理可证。∴
∴函数内有零点。
即方程内有解。又对于函数,则
可知,即点Q不在上。
是增函数,∴的零点是唯一的,
即方程内有唯一解。
综上,曲线上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。
(ⅱ)取曲线C:,则曲线的任意一条弦均有伴随切线。
证明如下:
是曲线C上任意两点


即曲线C:的任意一条弦均有伴随切线。  
注:只要考生给出一条满足条件的曲线,并给出正确证明,均给满分。若只给曲
线,没有给出正确的证明,请酌情给分。
解法二:
(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点,要证明
有伴随切线,只需证明存在点,使得
,且点不在上。 ∵,即证存在,使得
成立,且点不在上。……………  8分
以下证明方程内有解。
。…



内是增函数,
。  同理
∴方程内有解。又对于函数

可知,即点Q不在上。
内是增函数,
∴方程内有唯一解。
综上,曲线上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。
(ⅱ)同解法一。
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