Question

（本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当，时，又称为的λ——伴随切线。
（ⅰ）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）当时，没有极值；
当时，的极大值为，没有极小值。（Ⅱ）见解析        

（Ⅰ）  
当，，函数在内是增函数，
∴函数没有极值。       当时，令，得。
当变化时，与变化情况如下表：

	＋	0	－
	单调递增	极大值	单调递减

∴当时，取得极大值。
综上，当时，没有极值；
当时，的极大值为，没有极小值。          
（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点，使得
，且点不在上。
∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。   …………………8分
以下证明方程在内有解。…
记，则。
令，
∴，
∴在内是减函数，∴。
取，则，即。……9分
同理可证。∴。
∴函数在内有零点。
即方程在内有解。又对于函数取，则
可知，即点Q不在上。
是增函数，∴的零点是唯一的，
即方程在内有唯一解。
综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
（ⅱ）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。
证明如下：
设是曲线C上任意两点，
则，
又，
即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。  
注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲
线，没有给出正确的证明，请酌情给分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点，使得
，且点不在上。 ∵，即证存在，使得，
即成立，且点不在上。……………  8分
以下证明方程在内有解。
设。…
则。
记，
∴，
∴在内是增函数，
∴。  同理。。
∴方程在内有解。又对于函数，
∵，，
可知，即点Q不在上。
又在内是增函数，
∴方程在内有唯一解。
综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
（ⅱ）同解法一。