题目内容
16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
分析 （I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．化为ρ2=2$\sqrt{3}ρsinθ$，把$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；．
（II）设P$（3+\frac{1}{2}t，\frac{\sqrt{3}}{2}t）$，又C$（0，\sqrt{3}）$．利用两点之间的距离公式可得|PC|=$\sqrt{{t}^{2}+12}$，再利用二次函数的性质即可得出．
解答 解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
∴ρ2=2$\sqrt{3}ρsinθ$，化为x2+y2=$2\sqrt{3}y$，
配方为${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=3．
（II）设P$（3+\frac{1}{2}t，\frac{\sqrt{3}}{2}t）$，又C$（0，\sqrt{3}）$．
∴|PC|=$\sqrt{（3+\frac{1}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+12}$≥2$\sqrt{3}$，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2$\sqrt{3}$．此时P（3，0）．
点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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